Pušić to zawodnik ukształtowany w akademii Grasshopper Club Zürich, z którym był związany przez dwanaście lat, stając się istotną postacią pierwszego zespołu. Po debiucie w 2017 roku pozostał w klubie nawet po jego spadku do niższej ligi, odgrywając instrumentalną rolę w powrocie do Swiss Super League w 2021 roku. W 2023 roku, po raz pierwszy w karierze opuścił Szwajcarię, dołączając do chorwackiego NK Osijek, w barwach którego zadebiutował w europejskich pucharach. Pušić jest również byłym młodzieżowym reprezentantem Szwajcarii.