Adrian Klimczak urodził się 26 lipca 1997 roku w Policach. Jest wychowankiem miejscowego Chemika. Następnie swoją karierę kontynuował w Gryfie Wejherowo, Olimpii Grudziądz i Arce Gdynia. W ostatnich sezonach występował na poziomie I ligi i Ekstraklasy w barwach ŁKS Łódź. W minionym sezonie Klimczak wystąpił w 17 meczach ŁKSu w Fortuna I lidze i zanotował 3 asysty.

Z Wieczystą zawodnik zwiąże się 3-letnim kontraktem, z opcją przedłużenia o rok. Występował będzie w koszulce z numerem 3.